viernes, 20 de agosto de 2010

HISTORIA DE LAS MATEMATICAS

LA PREHISTORIA

SIGLO V a.C.


• Comenzaron las matemáticas en Grecia.
• Las civilizaciones de la época prehistórica caracterizadas por la caza y la agricultura y comercio rudimentarios, manifestaron interés por el número y la geometría empírica.
•Medir y contar fueron las primeras actividades del hombre primitivo. Haciendo marcas en los troncos de los árboles, lograban estos primeros pueblos, la medición del tiempo y el conteo del número de animales que poseían; así surgió la aritmética.

• Este comienzo de las matemáticas fue originado por las necesidades de su vida social y económica, y estuvo influenciado también por la religión y la magia.
• Los hombres primitivos desarrollaron sistemas de numeración de tipo aditivo no posicional, que les permitían efectuar cálculos con números naturales (adición, sustracción, multiplicación).



LA CIVILIZACIÓN BABILÓNICA

5000 a.C.

Mesopotamia:

• Sistemas de numeración:


- Las primeras formas de escritura aparecen hacia el tercer milenio a.C. y se caracterizan por la utilización de símbolos para representar las cosas. Estas formas se combinan y reducen para obtener una escritura más cómoda.
- Los pueblos mesopotámicos representaban los números con marcas en forma de cuña de acuerdo con su escritura cuneiforme; así, una marca para el uno; dos para el dos, hasta el nueve. Para el diez, cien, etc., usaban signos convencionales.
• Aritmética babilónica:


- La multiplicación se efectúa por referencia a tablas de multiplicación, construidas en un principio por adiciones sucesivas.
Geometría babilónica:


- Está íntimamente ligada a las mediciones prácticas.
- Tratan de la medición de figuras planas salvo algunos indicios referentes a sólidos.
- Los babilonios determinan la circunferencia de un circulo multiplicando su diámetro por tres; podían calcular el área de un triangulo y la de un trapecio.

• Las matemáticas babilónicas se basan en un sistema de numeración posicional: base 10 y 60.


LA CIVILIZACIÓN EGIPCIA

3100 a.C


• Los orígenes empíricos de la matemática egipcia la despojaron de las fantasías de la magia. La rigurosa experiencia como fuente de la Aritmética puede comprobarse en el documento matemático más antiguo que se posee: el papiro.


• El algebra:
- Los egipcios utilizaban con soltura la conmutatividad y la distributividad, y están familiarizados con el inverso de cada número.
- Pueden resolver ecuaciones lineales sencillas por el método de la “falsa posición”.

• La geometría:
- Podían calcular el área de triángulos, rectángulos y trapecios.
- Conocían las formulas para calcular volúmenes de cilindros y prismas rectos.
- La construcción de las pirámides fue para ellos la ocasión para utilizar el equivalente de nuestra cotangente.


LAS MATEMATICAS GRIEGAS

TALES DE MILETO (ca. 624-ca. 548 a.C.)

Estadista, ingeniero, astrónomo, comerciante, filósofo y matemático. Es el primer hombre al que se le atribuyen conocimientos matemáticos.
En geometría cuatro proposiciones:
• Cualquier diámetro biseca un circulo
• Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales.
• Los ángulos verticales formados por dos rectas que se cortan son iguales.
• Si dos triángulos son tales que dos ángulos y un lado de uno son iguales respectivamente a dos ángulos y un lado del otro, entonces los triángulos son semejantes.

 El teorema: el ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto.
 Conócete a ti mismo.



PITAGORAS DE SAMOS

La filosofia pitagórica se basaba en la afirmación: el número entero era la causa de las distintas cualidades de los elementos del Universo “Todo es número”
• La aritmética de Pitágoras.

 Dos números son amistosos si cada uno es la suma de los divisores propios del otro. Por ejemplo 284 y 220
 Un número es perfecto si la suma de sus divisores propios, deficiente si es mayor que esta suma, y abundante si esta suma es mayor que el número.
1+2+22+….+2n=p
 Todo número cuadrado es la suma de dos números triangulares sucesivos.

La geometría de Pitágoras

 El teorema de Pitágoras: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. (ternas pitagóricas)


 Construcción de figuras cósmicas: tetraedro, hexaedro o cubo, octaedro, dodecaedro y el icosaedro.


• El álgebra pitagórica

 (a+b)2= a2+2ab+b2
ANAXÁGORAS (ca. 500-ca. 428 a.C.)

• Era físico más que matemático. Su curiosidad lo llevo a la solución de problemas matemáticos.
• Intento resolver la cuadratura del círculo.
• Pensaba que la luna recibía su luz del sol, dio explicaciones de los eclipses lunares y solares.

ENÓPIDES DE QUÍOS
Sus trabajos geométricos eran realizados con el fin de proporcionar elementos para la solución de problemas astronómicos.
 Trazar una perpendicular a una recta dada desde un punto que no este en punta recta.
 Sobre una recta dada y en un punto dado de esta recta, construir un ángulo igual a un ángulo dado.

DEMÓCRITO (ca. 460-ca. 370 a.C.)

Es conocido por su teoría materialista de los átomos.
Escribió varias obras matemáticas:
 Números.
 Sobre la geometría.
 Sobre los irracionales.
 La concepción infinitesimal de Demócrito sirvió para descubrir que el volumen de una pirámide es un tercio del volumen del prisma que tiene la misma base y la misma altura.

HIPIAS DE ELIS (460 a.C.)

 Descubrió la “cuadratriz”, curva especial utilizada para resolver el problema de la trisección de un ángulo y para tratar de solucionar la cuadratura de un circulo.


HIPÓCRATES DE QUÍOS


Fue famoso en geometría por:
 Fue el primero en recopilar un libre de los Elementos.
 Intentando establecer la cuadratura de un círculo, demostró la cuadratura de ciertas clases lúnulas.
 Fue el primero que observó que el problema de la duplicación del cubo se reduce al problema de encontrar dos medias proporcionales en proporción continua entre dos rectas dadas, lo que mas tarde llevó a la resolución de la duplicación en términos de medias proporcionales.

• Teorema: la razón entre dos segmentos circulares semejantes es la misma que la razón entre los cuadrados de sus bases.


ARQUITAS DE TARENTO


• A partir de una construcción espacial, obtuvo a partir de la intersección de tres superficies construidas en el espacio de tres dimensiones, la duplicación del cubo.
• Desarrollo teoremas sobre las proporcionalidades numéricas y sobre desigualdades relativas a las tres medias.

PLATÓN (427 a.C.- 348a.C.)


Trata aspectos como:
 La teoría de los números.
 Las figuras cósmicas.
 La estereometría.
 Los fundamentos matemáticos.
 La axiomática.

• Distinguió la aritmética (en el sentido de la teoría de números) de la logística (arte de contar).
• Las únicas construcciones validas en la geometría son las que se realizan con regla y compas, ya que estos instrumentos garantizan la simetría en las construcciones.
• Introdujo el método del análisis en la demostración matemática.
• Invento los diorismas, cuyo objeto es determinar cuándo el problema es puede ser resuelto o cuando es imposible.

EUDOXO (ca. 408-ca. 355a.C.)


Dos de sus contribuciones más importantes son:
 La teoría de las proposiciones.
 El método exhaustivo.

• Los círculos son entre ellos como los cuadrados de sus diámetros.
• Formuló el lema: axioma de la continuidad.
• Es el primer matemático que empleó un algoritmo eficaz en el cálculo integral.

MENECMO

• Aumento el número de esferas en las teorías planetarias de Eudoxo y Calipo.
• Escribió obras sobre geometría (discusiones de los fundamentos de la geometría), sobre el significado de la palabra elemento y la diferencia entre los teoremas y problemas.
• Descubrió las secciones cónicas.
• Descubrió las propiedades de las parábolas (y2 =bx) y de la hipérbola (xy =ab).
• Si el ángulo del vértice del cono es recto, al cortar el cono con un plano perpendicular a la generatriz, la curva intersección es una parábola. Si el ángulo es agudo, la curva de intersección es una elipse.

DINÓSTRATO

Utilizo con éxito la cuadratriz en la resolución de la cuadratura de un círculo.

ARISTÓTELES


• Estableció diferencias claras entre los axiomas, las definiciones, las hipótesis y los postulados.
• Un axioma es una noción común y universal, evidente por si misma que todos deben conocer.
• Un postulado, es una suposición, aunque restringida a un tema dado de una rama particular, difiere de un axioma que no es evidente.
• Niega la existencia real del infinito, pero acepta el infinito potencial.


EUCLIDES


Escribió numerosas obras:
 Los Elementos en 13 libros.
 Los Datos.
 La División de las figuras.
 Los Fenómenos y la Óptica.

Análisis de los elementos:
 Libro I: presenta 23 definiciones seguidas de 5 postulados y 5 nociones comunes.
Los 5 postulados son:
1. Trazar una línea recta desde cualquier punto a una recta cualquiera.
2. Originar por continuidad una recta finita en una recta.
3. Describir un círculo desde un punto cualquiera y con una distancia cualquiera.
4. Que todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
5. Que, si una recta que cae sobre otras dos, hace que los ángulos interiores al mismo lado sean más pequeños que dos rectos, estas rectas, prolongadas indefinidamente, se encontrarán del lado en que los ángulos son menores que dos rectos.

 Libro II: comprende dos definiciones y catorce proposiciones.
Las 2 definiciones son:
1. Se dice que cualquier paralelogramo rectángulo está contenido por las dos rectas que forman el ángulo recto.
2. En cualquier paralelogramo, cualquiera de los paralelogramos descritos alrededor del diámetro con sus dos complementos se llamará gnomón.

 Libro III: contiene 11 definiciones relativas al círculo y 37 proposiciones sobre el círculo, las cuerdas, las tangentes, las construcciones sobre el círculo y la medición de ángulos asociados.

 Libro IV: aparecen 7 definiciones de figuras poligonales, inscritas o circunscritas, que incluyen figuras rectilíneas y el círculo, y 16 proposiciones relativas a las figuras inscritas en un círculo, o circunscritas a un círculo.

 Libro V: contiene 18 definiciones sobre la teoría de las proporciones de Euxodo, 25 proposiciones que tratan del estudio, generalizado al caso de que las magnitudes comparadas puedan no ser conmensurables, de las proporciones.

 Libro VI: aplicación de teorías del libro V a la geometría plana. Contiene 4 definiciones y 33 proposiciones relativas a teoremas sorbe las razones.

 Los libros VII, VIII y IX: están dedicados a las teorías de los números.

 Libro X: contiene 4 definiciones sobre las magnitudes conmensurables e inconmensurables y 115 proposiciones sobre los números irracionales en las que sólo intervienen raíces cuadradas.

 Libro XI: contiene 39 proposiciones, precedidas por 28 definiciones que incluyen las definiciones de sólido, inclinación de planos, planos paralelos, figuras sólidas semejantes, ángulo sólido, pirámide, prisma, cilindro, esfera, cono y cubo.

 Libro XII: 18 proposiciones acerca de la medición de figuras por el método exhaustivo.

 Libro XII: se ocupa de la construcción de los poliedros regulares, estudia 18 proposiciones que tratan de las figuras cósmicas.

ARQUÍMEDES (287- 212 a.C)



• El más genial de los matemáticos de la antigüedad.
• Fue el primero en aplicar metódicamente las ciencias a los problemas de la vida real.
• Por tres años defendía a Siracusa, su ciudad natal, contra el ataque de los romanos.
• Fue autor de innumerable inventos mecánicos:
- El tornillo sin fin.
- La rueda dentada.
- Catapultas de alcance variables.
- Una máquina que incendiaba los barcos romanos.

• Fundó la hidrostática.
• Escribió más de 10 obras.
• Las principales contribuciones de Arquímedes se refieren a la teoría de las palancas, establecidas sobre principios de estática, al estudio de los centros de gravedad de figuras planas y sólidos y a su equilibrio físico, al estudio de la hidrostática, a las propiedades de los líquidos y al equilibrio de los cuerpos en ellos sumergidos.

ERATÓSTENES (ca. 276-ca. 194 a.C.)

Su más valiosa colaboración científica corresponde a sus mediciones para evaluar el perímetro de la Tierra.
• En teoría de números se menciona cuando se estudian los números primos, debido a su “criba”, método que permite extraer los números primos de una sucesión ilimitada de números pares.


NICOMEDES

• Es llamado el ultimo gran geómetras griego; al el se debe una curva llamada “concoide”, construida mecánicamente, cuya utilización permite resolver la trisección de un ángulo y la duplicación del cubo.



APOLONIO (ca. 262-ca. 200a.C.)

• Era llamado el gran geómetra.
• Es famoso por las Secciones Cónicas.
• Llego a obtener resultados generales sobre las cónicas utilizando no sólo el cono circular recto, sino también el cono oblicuo o el cono circular escaleno.
• Demostró que las propiedades de las cónicas son las mismas tanto si proceden de conos oblicuos como si proceden de conos rectos.
• Se le debe la superposición de dos conos, el vértice de uno apoyado sobre el vértice del otro de tal manera que sus ejes coincidan.


ARISTARCO DE SAMOS (ca. 310-ca. 230a.C.)

• Fue el primero en afirmar, adelantándose axial a Copérnico en 17 siglos, que la Tierra y los planetas giraban alrededor del sol.
• Establece algunas razones trigonometriítas y las presenta en 18 proposiciones.


HIPARCO (ca. 180-ca. 125 a.C.)


• Fue llamado el padre de la astronomía por las mejoras que introdujo en los instrumentos y en las técnicas de observación.
• Se le atribuye el descubrimiento de la presesión de los equinoccios, la determinación de la inclinación de la eclíptica y mediciones de los paralajes y las irregularidades del
movimiento de la luna.



MENELAO (ca. 100 d.C)

• Fue el primero en definir el triangulo esférico.
• Desarrollo un buen número de teoremas sobre trigonometría esférica.
• Define el triangulo esférico como el espacio, sobre la superficie de una esfera, comprendido entre arcos de grandes círculos, y estos arcos, menores que la mitad de la circunferencia, son los lados del triangulo.



TOLOMEO (ca. 85-ca. 165 d.C)

• Dividió el círculo en 360 ° y el diámetro en 120 partes, y luego cada parte en minutos, segundos y terceros, según el sistema sexagesimal de los babilonios.
• Teorema: la suma de los productos de los lados opuestos de un cuadrilátero cíclico es igual al producto de las diagonales.


HERÓN (75-150 d.C.)

• Se interesó por la medición en todas sus formas, en el campo de la óptica y la mecánica.
• Se ocupa del cálculo de las áreas de distintas figuras, como cuadrados, rectángulos, triángulos, polígonos regulares, segmentos de esfera, cilindros y segmentos parabólicos.
• Inventó un tipo primitivo de máquina de vapor y fue el precursor del termómetro.


LAS CIVILIZACIONES CHINA E INDIA


• Las fuentes históricas son escasas en lo referente a las matemáticas chinas.
• Los chinos poseían dos sistemas de numeración, uno de ellos emparentado con un sistema posicional.
• Las operaciones aritméticas se efectuaban mediante barras numéricas: el ábaco, maquina de calcular con bolas, constituyó un invento muy importante utilizado desde el Siglo XII de nuestra era.



• Las matemáticas chinas encierran resultados interesantes e innovadores: una buena aproximación de ∏, la utilización practica de los números negativos, el estudio de los cuadrados mágicos, el desarrollo de un método matricial eficaz, para resolver sistemas de ecuaciones, la primera aproximación al método de Horner, el desarrollo del binomio, ilustrado por el triangulo de Pascal y la utilización de ciertas series.


• Las matemáticas indias, cultivadas sobretodo por los sacerdotes, se caracterizan por el desarrollo del cálculo numérico y algebraico, una trigonometría basada en la función seno, una alternancia de enunciados verdaderos y falsos en lo relativo al algebra, y sobre todo, a la geometría, una geometría poco desarrollada, salvo quizá en el estudio de los cuadriláteros y sus propiedades, un análisis indeterminado que supera netamente al de Diofanto y al de Hipatia en dificultades y generalidades, y un sistema de numeración –notación brahmi-, fuente de la que surgirá, con las contribuciones de los árabes, nuestro sistema decimal.

LAS MATEMÁTICAS DEL ISLAM


• Su contribución en el campo de las matemáticas comprenden numerosos temas como la trigonometría y el algebra.
• Contribuyeron de manera original a la teoría de las ecuaciones, al desarrollo de la trigonometría plana y esférica, al estudio del postulado de las paralelas, al desarrollo de nuestro sistema decimal y a la generalización del binomio.




LAS MATEMÁTICAS DE LA EUROPA MEDIEVAL

500-1400


Las matemáticas bizantinas:

• La contribución del imperio bizantino al campo de las matemáticas consiste en haber conservado los textos matemáticos escritos en griego y haber comentado los clásicos antiguos.


Boecio fue indiscutiblemente el que mas influyó en el pensamiento matemático de los primeros siglos de la Edad Media.
• En el Siglo X, los números indoarábigos son introducidos en Europa por Gerberto, que fue el maestro de los abacistas.



• El primer sabio europeo quien contribuyó considerablemente y de forma original al campo de las matemáticas fue Leonardo de Pisa, quien trata sobre los métodos algebraicos y de problemas en los que se acentúa el empleo de los números indoarabigos



• Jordanus Nemorarius es considerado como el fundador de la escuela medieval de mecánica e introdujo el empleo de letras en lugar de los símbolos numéricos.



Thomas Brawardine, fue un eminente matemático ingles del Siglo XIV, desarrolló una teoría de las proporciones que engloba el concepto de variación expresado en términos de la potencia n o de la raíz enésima.



Nicolás de Oresme, es célebre en matemáticas por varias razones: proporcionó reglas equivalentes a nuestras leyes sobre los exponentes, notaciones específicas para las potencias fraccionarias e irracionales, una representación gráfica de la variación y algunas reglas sobre la suma de series infinitas y sobre la determinación de la convergencia y divergencia de ciertas series.



LAS MATEMÁTICAS DEL RENACIMIENTO


• Las actividades matemáticas de los sabios latinos del renacimiento contribuyeron de manera importante a hacer resaltar resultados fundamentales en el campo del algebra, la trigonometría y la geometría.
• Se dispone ya de los rudimentos del algebra simbólica, el calculo con símbolos indoarabigos esta muy extendido, las fracciones decimales se desarrollan gradualmente, la teoría de ecuaciones comprende ahora la solución general de la cúbica y de al ecuación bicuadrática, los números negativos se aceptan cada vez mas, se dispone de tablas trigonométricas muy precisas para las seis funciones.
• La invención de la imprenta ejerce una influencia benéfica sobre la normalización de los conocimientos y la difusión de las ideas matemáticas.


LEONARDO DA VINCI (1452-1519)


• En sus notas manuscritas encontramos cuadraturas de lúnulas, que le exigieron mucho tiempo y mucho trabajo, inscripciones de polígonos regulares, transformaciones de sólidos – paralelepípedos rectángulos de bases cuadradas- en sólidos de igual volumen.
• Alcanzó la fama en matemáticas por sus aplicaciones de las matemáticas a las ciencias y por la teoría de las perspectivas.



NICOLÁS COPERNICO (1473-1543)


• Revolucionó las ideas astronómicas de la época al sostener que la Tierra se mueve alrededor del sol.
• Su sistema constituye la base de toda la astronomía moderna

Siglo XVII



Descartes y la geometría analítica


• En las primeras décadas del Siglo XVII se inicia en occidente la Revolución Científica, lo cual contribuye a una conjunción de algebra con la geometría.
• Surge el cálculo infinitesimal en su doble aspecto de algoritmo del infinito y de instrumentos indispensables para el estudio de los fenómenos naturales y el siglo asiste al nacimiento de la teoría de números, del cálculo de probabilidades y de la geometría proyectiva.
• Los recursos del algebra permiten unificar la aritmética aplicando un molde común a las propiedades de los números.
• La primera de las nuevas ramas matemáticas del siglo XVII es la actual geometría analítica, que nace de la obra de René Descartes, cuya característica principal es lo que se ha llamado su “afán cósmico”, que es la generalización, que le hace perseguir la realización de una física general, capaz, de explicar completamente todo lo que el universo encierra en la tierra y en los cielos.
• El método cartesiano que propuso por todas las ciencias y disciplinas, consiste en descomponer los problemas complejos en partes progresivamente mas sencillas hasta hallar sus elementos básicos, las ideas simples que se presentan a la razón de un modo evidente y proceder a partir de ellas, por síntesis, a reconstruir todo el complejo, exigiendo a cada nueva relación establecida entre ideas simples la simple evidencia de estas.
• Entre sus teorías físicas se destaca su formulación de la ley de inercia y una especificación de su método para las matemáticas.

Siglo Newtoniano

• También llamado el siglo de las luces, de la Ilustración, del Iluminismo o siglo de la razón.
• Este siglo nace en 1687, fecha de la aparición de los Principia de Newton, libro promotor del auge de la mecánica, de la astronomía y del calculo infinitesimal, característico de aquel siglo.
• El éxito de la gravitación universal que juntamente con las leyes de la mecánica Newtoniana, permite traducir en ecuaciones diferenciales los movimientos celestes y el calculo que logra resolverlas prediciendo el porvenir, releer el pasado y calcular hasta sus últimos pormenores el mecanismo que parecía secreto inviolable, dio a la ciencia exacta notable impulso.
• Se hizo inmortal gracias a su descubrimiento de las leyes de la gravedad universal y de la descomposición de la luz.
• Descubrió al mismo tiempo que Leibniz las bases del cálculo infinitesimal.


LAS MATEMÁTICAS MODERNAS


• Las traducciones de Maurolico y Commandino facilitaron el acceso a las obras antiguas de un nivel superior, pocas conocidas en la época.
• Maurolico es uno de los precursores del principio de inducción matemática.

Francois Viéte


- Es la figura central del algebra y de las matemáticas en general.


-Utiliza sistemáticamente números decimales y hace contribuciones originales al campo de la trigonometría, la teoría de ecuaciones y la geometría.



- El grado de generalización y los numerosos aspectos nuevos y originales de su algebra le hicieron famoso. Fue el primero que estableció relaciones entre la trigonometría y la teoría de ecuaciones.



Stevin



-Alcanza la fama en trigonometría y geometría por la reducción de las formulas trigonométricas relativas a los triángulos esféricos a seis formulas básicas y por la división decimal de los grados.
-En análisis por el paso directo al limite en el método exhaustivo aplicado a la determinación de los centros de gravedad.


Napier, alcanzó la fama sobretodo por la invención de los logaritmos, aunque se destacó también por el desarrollo de métodos abreviados de cálculo distintos de los logaritmos, y por sus trabajos de trigonometría.

Bϋrgi, desarrolló de manera independiente los logaritmos, pero perdió todos sus derechos de prioridad al publicarlos después de Napier. Las diferencias entre los dos sistemas radican en la terminología y en los valores numéricos empleados.

Los astrónomos Kepler, Cavalieri y Galileo hicieron contribuciones esclarecedoras al campo del calculo diferencial e integral, y más exactamente en relación con las nociones de infinito, infinitesimal e indivisible.



BIBLIOGRAFIA

  • Historia de las matematicas. Julio Rey Pastor y José Babini Volumen 2
  • Historia de las matematicas. Jean-Paul Collette.
  • Grandes biografias. El Tiempo.
  • Algebra de Baldor.
  • Aritmética de Baldor.
  • http://es.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090618161637AAnyeMj

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